Question

如果函数f（x）的定义域为{x|x∈R⁺}，且f（x）为增函数，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）证明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）结合抽象表达式用x=

x

y

•y即可将f（x）转化成f(x)=f(

x

y

•y)=f(

x

y

)+f(y)，即可证得f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（2）首先通过赋值可求出2=f（9），进而对不等式进行转化，然后结合函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调性，结合变形后的抽象函数即可获得变量a的要求，进而问题即可获得解答．

解答：解：（1）∵f(x)=f(

x

y

•y)=f(

x

y

)+f(y)，
∴f(

x

y

)=f(x)-f(y)；
（2）∵f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）-f（a-1）＞2，
∴f(

a

a-1

)＞2=f(3)+f(3)=f(9)，
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴

a

a-1

＞9解得a＜

9

8

，
又a＞0，a-1＞0，
∴1＜a＜

9

8

，
∴a的取值范围是1＜a＜

9

8

．

点评：本题考查的是抽象函数及其应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、特值的思想、转化的思想以及计算和解不等式组的能力．值得同学们体会和反思．