Question

11．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲线C的参数方程消去参数化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的互化公式把直线L的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C上任一点为P（3$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），求得它到直线的距离d，再根据正弦函数的值域求得d的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线l的直角坐标方程：x-$\sqrt{3}$y-12=0，
∵曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
∴$\frac{x}{3}$=$\sqrt{3}$cosθ，①y=$\sqrt{3}$sinθ，②，
①²+②²得：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=3
故曲线C的普通方程：$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）设点P在曲线C上的坐标是（3$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），
它到直线的距离为d=$\frac{|3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12|}{\sqrt{1+3}}$=3|sin（$\frac{π}{3}$-θ）-2|，
当且仅当sin（$\frac{π}{3}$-θ）=1时，d取最小值，最小值是3，
∴点P到直线l的距离的最小值为3．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．