Question

【题目】如图,ABCD是边长为a的正方形,PA⊥平面ABCD.

(1)若PA=AB,点E是PC的中点,求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;

(2)若BE⊥PC且交点为E,BE=a,G为CD的中点,线段AB上是否存在点F,使得EF∥平面PAG?若存在,求AF的长;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）以A为坐标原点建立坐标系，得出以及平面PCD的一个法向量，设直线AE与平面PCD所成角为,由sin=|cos<,m>|,即可求出直线AE与平面PCD所成角的正弦值。

（2）设P(0,0,c)(c>0)，=λ由BE=a以及BE⊥PC可得λ=,c=a设AF=l，求出平面PAG的法向量为n，由·n=0即可得出答案。

(1)以A为原点,建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),E=(a,0,0),=(0,a,-a).

设平面PCD的法向量m=(x,y,z),则

取m=(0,1,1),

则cos<,m>=.

设直线AE与平面PCD所成角为,

则sin=|cos<,m>|,所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为.

(2)G,设P(0,0,c)(c>0),

则=(-a,-a,c).

设=λ,则E((1-λ)a,(1-λ)a,λc),

∴=(-λa,(1-λ)a,λc).

∵BE=a,

∴(-λa)2+[(1-λ)a]2+(λc)2=. ①

∵BE⊥PC,∴λa2-(1-λ)a2+λc2=0.

∴c2==a2. ②

由①②解得λ=,c=a,

∴E,P(0,0,a).

若存在满足条件的点F,可设AF=l(0≤l≤a),

则F(l,0,0),.

设平面PAG的法向量为n=(s,t,p),

则∴n=(-2,1,0).

∵EF∥平面PAG,∴·n=0.

∴-2l+a-a=0,∴l=a.

∴存在满足条件的点F,且AF=a.