Question

【题目】如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE是等腰梯形,BC∥ DE,∠ DCB=45°,O是BC中点,AO=,且BC=6,AD=AE=2CD=.

(1)证明:AO⊥平面BCD;

(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD。在三角形OCD中，利用余弦定理求出OD，在三角形AOD中通过验证勾股定理可得AD⊥ OD.同理可得AO⊥OE。故可得出AO⊥ 平面BCD.（2）以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ACD以及平面BCD的法向量。进而可得出二面角的余弦值以及正切值。

(1)证明易得 OC=3,连接OD,OE,在△OCD中,由余弦定理可得OD=,

因为AD=2,

所以AO2+OD2=AD2,所以AO⊥OD.

同理可证AO⊥OE,又OD∩OE=O,

所以AO⊥平面BCD.

(2)解以O点为原点,建立空间直角坐标系O-xyz(如图).

则A(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),

所以=(0,3,),=(-1,2,).

设n=(x,y,z)为平面ACD的法向量,

则

解得

令x=1,得n=(1,-1,),

由(1)知,=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,

所以cos<n,>=,

即二面角A'-CD-B的平面角的正切值为.