Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为 ，
∴ = ，a2=2b2 ，
∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ，
∴椭圆C过点（ ，1），
∴ + =1，
∴b2=2，a2=4，
∴椭圆C的方程为 + =1．
（Ⅱ）设A，B的横坐标为x1 ， x2 ，
则A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m），
联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣ ，
∴D（﹣ ， ），
∵M（0，m），则N（0，﹣m），
∴⊙N的半径为|m|，
|DN|= = ，
设∠EDF=α，
∴sin = = = = ，
令y= ，则y′= ，
当k=0时，sin 取得最小值，最小值为 ．
∴∠EDF的最小值是60°．
【解析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（ ，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．