【题目】已知函数,
.
(1)若函数是奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,判断函数与函数
的图象公共点个数,并说明理由;
(3)当时,函数
的图象始终在函数
的图象上方,求实数
的取值范围.
【答案】(1) .
(2) 函数与函数
的图象有2个公共点;说明见解析.
(3).
【解析】分析:(1)由题意可得,解出
;
(2)要求方程解的个数,即求方程
在定义域
上的解的个数,令
,利用零点存在定理判断即可;
(3)要使时,函数
的图象始终在函数
的图象的上方,
必须使在
上恒成立,令
,则
,上式整理得
在
恒成立,分类讨论即可.
详解:(1)因为为奇函数,所以对于定义域内任意
,都有
,
即,
,
显然,由于奇函数定义域关于原点对称,所以必有
.
上面等式左右两边同时乘以得
,化简得
,.
上式对定义域内任意恒成立,所以必有
,
解得.
(2)由(1)知,所以
,即
,
由得
或
,
所以函数定义域
.
由题意,要求方程解的个数,即求方程
在定义域
上的解的个数.
令,显然
在区间
和
均单调递增,
又,
且,
.
所以函数在区间
和
上各有一个零点,
即方程在定义域
上有2个解,
所以函数与函数
的图象有2个公共点.
(附注:函数与
在定义域
上的大致图象如图所示)
(3)要使时,函数
的图象始终在函数
的图象的上方,
必须使在
上恒成立,
令,则
,上式整理得
在
恒成立.
方法一:令,
.
① 当,即
时,
在
上单调递增,
所以,恒成立;
② 当,即
时,
在
上单调递减,
只需,解得
与
矛盾.
③ 当,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以由,解得
,
又,所以
综合①②③得的取值范围是
.
方法二:因为在
恒成立. 即
,
又,所以得
在
恒成立
令,则
,且
所以,
由基本不等式可知(当且仅当
时,等号成立.)
即,
所以,
所以的取值范围是
.
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【题目】在四棱锥中,
为正三角形,平面
平面
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,请确定点
的位置并证明;若不存在,说明理由.
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【题目】某工厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸
之间满足关系式
为大于
的常数),现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
对数据作了处理,相关统计量的值如下表:
(1)根据所给数据,求关于
的回归方程(提示:由已知,
是
的线性关系);
(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品,现从抽取的6件合格产品再任选3件,求恰好取得两件优等品的概率;
(附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为
)
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【题目】为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重(单位:千克)情况,将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图,已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
(Ⅰ)求该校报考体育专业学生的总人数;
(Ⅱ)已知A, 是该校报考体育专业的两名学生,A的体重小于55千克,
的体重不小于70千克,现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名,然后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人,体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组,求A不在训练组且
在训练组的概率.
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【题目】(本小题满分13分)如图所示,已知以点为圆心的圆与直线
相切.过点
的动直线
与圆
相交于
,
两点,
是
的中点,直线
与
相交于点
.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线
的方程.
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】如图,在棱长为的正方体
中,
为
的中点,
为
上任意一点,
,
为
上任意两点,且
的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是( )
A. 点到平面
的距离B. 三棱锥
的体积
C. 直线与平面
所成的角D. 二面角
的大小
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn,且=9,S6=60.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若数列{bn}满足bn+1﹣bn=(n∈N+)且b1=3,求数列
的前n项和Tn.
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【题目】如图所示,已知A、B、C是一条直路上的三点,AB与BC各等于1 km,从三点分别遥望塔M,在A处看见塔在北偏东45°方向,在B处看塔在正东方向,在点C处看见塔在南偏东60°方向,求塔到直路ABC的最短距离.
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