【题目】如下图,在三棱锥 中, , , 为 的中点.
(1)求证: ;
(2)设平面 平面 , , ,求二面角 的正弦值.
【答案】
(1)证明:设 的中点为 ,连接 ,∵ ,∴ ,
又∵ 为 的中点,∴ ,∵ ,∴ .
∵ ,∴ 平面 ,
又∵ 平面 ,
∴
(2)解:由(1)知: , ,
∵平面 平面 ,
平面 平面 平面 ,
∴ 平面 ,∵ 平面 ,
∴ ,∴ 两两互相垂直.
∵ ,∴ .
由 为 的中点, 得 ,
以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 ,
∴ .
设平面 的一个法向量为 ,则 .
∴ ,取 ,解得 ,
∴ 是平面 的一个法向量.
同理可求平面 的一个法向量 .
设二面角 的大小为 ,则 ,
∵ ,∴ ,
二面角 的正弦值为 .
【解析】(1)通过直线与平面垂直证明直线与直线垂直;
(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用法向量的夹角求二面角.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和直线与平面垂直的性质,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的前项和为,点在直线上.数列满足
,,且其前9项和为153.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】小王在年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25-x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).
(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?
(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大(利润=累计收入+销售收入-总支出)?
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