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如图等腰梯形ABCD的两底分别为AB=10,CD=4,两腰AD=CB=5,动点P由B点沿折线BCDA向A运动,设P点所经过的路程为x,三角形ABP的面积为S.

(1)求函数S=f(x)的解析式;

(2)试确定点P的位置,使△ABP的面积S最大.

 

【答案】

(1)(2)20

【解析】本小题主要函数模型的选择与应用.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.

(1)先作出所需辅助线:过C点作CE⊥AB于E,再分类讨论求出:在当x∈(0,5]时,当x∈(5,9]时,当x∈(9,14]时,函数S=f(x)表达式即可;

(2)分类讨论:当x∈(0,5]时,当x∈(5,9]时,当x∈(9,14]时,分别求出各个区间上的最大值,最后综合即得,△ABP的面积S最大值即可.

解(1)过C点作CE⊥AB于E,

在△BEC中,∴

由题意,当时,过P点作PF⊥AB于F,

∴PF=,∴当时,

时,

时, 

.综上可知,

函数

(2)由(1)知,当时,f(x)=4x为增函数,

所以,当x=5时,取得最大值20.

当x∈(5,9]时,f(x)=20,最大值为20.当x∈(9,14]时,f(x)=56-4x为减函数,无最大值.

综上可知:当P点在CD上时,△ABP的面积S最大为20.

 

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(1)    求外周长的最小值,此时防洪堤高h为多少?

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