Question

已知等比数列的公比为，是的前项和．

（1）若，，求的值；

（2）若，，有无最值？并说明理由；

（3）设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个？

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2）有最大值为，最小值为;（3）个． 

【解析】

试题分析：（1）根据等比数列前项和公式，可见要对分类讨论，当时，，，，从而不难求出;当时，，，，即可利用根据定义求出;（2）根据题意可求出数列的前项和，要求出的最值，可见要分和两种情况进行讨论，当时利用单调性即可求出的最值情况，当时，由于将随着的奇偶性正负相间，故又要再次以的奇偶数进行讨论，再利用各自的单调性即可求出的最值; （3）首先由含有的绝对值不等式可求出的范围，再用表示出，由单调性不难求出的最小值，即，故并分别代入进行，依据就可求出的范围，最后结合是正整数，从而确定出的个数．

试题解析：（1）当时，，，                     2分

当时，，，               4分

所以（可以写成；

（2）若，，则，

当时，，所以随的增大而增大，

而，此时有最小值为1，但无最大值．         6分

当时，

①时，，所以随的增大而增大，

即是偶数时，，即：；       8分

②时，，

即：，所以随的增大而减小，

即是奇数时，，即：；

由①②得：，有最大值为，最小值为．        10分

（3）由得，所以，                  11分

，随着的增大而增大，故，

即：，，得．                   13分

当时，

，

又，得共有个；                       15分

当时，

 

又，得共有个；                       17分

由此得：共有个．                               18分

考点：1.等比数列的求和公式;2.数列的极限;3.数列与函数的结合