Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，短轴长为2，为原点，直线与椭圆的另一个交点为，且的面积是的面积的3倍．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆相交于两点，若在椭圆上存在点，使为平行四边形，求取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）依题意有，根据面积比求得点的坐标，代入椭圆方程求得，，所以椭圆方程为；（2）设，利用平行四边形对角线可求得点的坐标，代入椭圆方程化简得，联立，消去写出韦达定理，代入上式化简得，解得.

试题解析：

(1) 短轴长为2，可得，即，设

的面积是的面积的3倍，即为

可得，由直线经过可得，即，代入椭圆方程可得

即为，即有，则椭圆的方程为；

(2)设，由为平行四边形可得

在椭圆上可得，即为

化为

由，可得，由即为

代入可得，化为

又，解得或，则取值范围是.