Question

【题目】如图,在四棱锥中,底面为平行四边形, 为侧棱的中点.

（Ⅰ）求证: ∥平面

（Ⅱ）若,,

求证:平面平面

Answer 1

【答案】（1）（2）均见解析．

【解析】试题分析：（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE∥PC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；

（2）先证明PA⊥DE，再证明PA⊥OE，可得PA⊥平面BDE，从而可得平面BDE⊥平面PAB．

证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．

因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）

因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）

因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）

（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）

因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．

因为OE平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE=E，

所以PA⊥平面BDE．…（12分）

因为PA平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）