Question

已知函数f（x）=x²-2x-3（x＞0），在公差大于0等差数列{a_n}中，a₁=f（x-1），a₂=-

3

2

，a₃=f（x）．
（1）求x的值及数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令数列b_n=2ⁿ+a_n．求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用函数解析式，根据a₁，a₂，a₃成等差数列，可求x的值，从而可求数列的公差，进而可得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）根据数列{b_n}的通项，分组求和，即可求数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（1）a1=f(x-1)=x2-4x，a₃=x²-2x-3
由a₁，a₂，a₃成等差数列，得2a₂=a₁+a₃，
所以x²-4x+x²-2x-3=-3
所以x²-3x=0
又x＞0，所以x=3
所以a₁=-3，a₃=0，所以公差d=

3

2

所以an=-3+(n-1)×

3

2

=

3

2

n-

9

2

；
（2）数列{b_n}的前n项和

Sn=b1+b2+…+bn=(21+22+…+2n)+(a1+a2+…+an)

=

2(1-2n)

1-2

+

n(-3+ 3 2 n- 9 2 )

2

=2n+1-

3

4

n2-

23

4

．

点评：本题考查数列与函数的结合，考查数列的通项与求和，正确运用数列的求和公式是关键．