Question

16．若一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 6π或5π
• B． 3π或5π
• C． 6π
• D． 5π

Answer 1

分析 由题意，根据几何体的放置位置不同，得到三视图的正视图不同；本题的正视图可能是底面三角形的一腰与高组成的正视图，也可能是等腰三角形的斜边高组成的正视图；因此由两种可能计算表面积．

解答 解：①当此正视图是底面三角形的一腰与高组成，此时三棱柱对应的正方体长宽高分别是1，1，1，其体对角线长度为$\sqrt{3}$，所以外接球表面积为$4π（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=3π$；
②当正视图是等腰三角形的斜边高与棱柱的高组成的，此时三棱柱对应的长方体长宽高分别是$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，1，所以体对角线长度为$\sqrt{5}$，所以其外接球的表面积为$4π（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}=5π$；
故选B．

点评 本题考查了几何体的三视图；关键是明确正视图的形成过程，明确外接球的直径与几何体的关系．