Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.

（1）证明:平面

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.

（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量

，，最后求得二面角的余弦值为.

解：（1）连结

∵ ，且是的中点，

∴

∵平面平面，

平面平面，

∴平面.

∵平面，

∴

又为菱形，且为棱的中点，

∴

∴.

又∵，平面

∴平面.

（2）由题意有，

∵四边形为菱形，且

∴

分别以，，所在直线为轴，轴，轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设，则

设平面的法向量为

由，得，

令，得

取平面的法向量为

∴

二面角为锐二面角，

∴二面角的余弦值为