Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若关于x的不等式恒成立，且k的最小值是m，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，在为增函数，无减区间；

当时，在为增函数，在为减函数；（3）见解析.

【解析】

（1）求出后可得曲线在处的切线方程.

（2）就、时分别讨论函数的符号后可得的单调性.

（3）根据（2）中的结论可得，其中满足，消去得到，再利用导数可得为增函数且存在唯一零点，故此不等式的解为，由此可得，利用分析法结合的范围可证.

（1）当时，，，

，所以曲线在处的切线方程为,

而，故切线方程为.

（2），

当时，，故在为增函数，无减区间.

当时，令，解得或（舍）

当时，，故在为增函数；

当时，，故在为减函数；

综上，当时，在为增函数，无减区间；

当时，在为增函数，在为减函数.

（3）由（2）可知，当，在为增函数，

因为，与题设矛盾，舍.

当时，在为增函数，在为减函数，

所以，因为不等式恒成立，故.

令，则.

消去，则有即，

令，，则，故为上的增函数.

又，，

因为，故，故.

所以在上有且只有一个零点，设为的零点，

故不等式的解为且.

又，因为函数在为减函数，

故当时，即，也就是.

要证，即证，

即证，也就是证明，

即证.

因为，而，

故成立，所以成立.