Question

设函数.

（1）当时，求函数的极大值；

（2）若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围；

（3）设，当时，求函数的单调减区间．

 

Answer 1

（1）5；（2）；（3）①当时，函数的单调减区间为；

②当时，函数的单调减区间为,；

③当时，函数的单调减区间为,, ．

【解析】

试题分析：（1）当时，函数是一个具体的三次函数，只须求出的导函数，并令它为零求得其根；然后列出的取值范围与的符号及单调性的变化情况表，由此表可求得函数的极大值；（2）函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，等价于方程即有三个不同的实数根，也等价于方程有三个不同的实数根，从而可转化为直线与函数有三个不同的交点，画草图可知必须且只需：，所以利用导数求出函数的极小值和极大值即可；（3）注意到函数的图象与函数的图象之间的关系：将函数在x轴上方的图象不变，而将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方即得函数的图象，由此可知要求函数的单调减区间，只须先求出函数的单调区间，并求出的所有零点，结合图象就可写出函数的单调减区间；注意分类讨论．

试题解析：（1）当时，由=0，得或， 2分

列表如下：

		－1		3
	＋	0	－	0	＋
	递增	极大	递减	极小	递增

 

所以当时，函数取得极大值为5. 4分

（2）由，得，即， 6分

令，则，

列表，得

				1
	－	0	＋	0	－
	递减	极小值	递增	极大值2	递减

8分

由题意知，方程有三个不同的根，故的取值范围是. 10分

（3）因为，

所以当时，在R上单调递增；

当时，的两根为，且，

所以此时在上递增，在上递减，在上递增； 12分

令，得，或 （*），

当时，方程（*）无实根或有相等实根；当时，方程（*）有两根， 13分

从而

①当时，函数的单调减区间为； 14分

②当时，函数的单调减区间为,； 15分

③当时，函数的单调减区间为,, ． 16分

考点：１．函数的极值；2．函数图象、方程的根及函数的零点；3．函数的单调性．