Question

       已知函数，．

（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）求的单调区间；

（3）当时，若对于任意，，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵

∴，                      …………………2分

∵的图象在处的切线与直线垂直，

∴，可得.                  …………………4分

（2）由（1），

令，可得，或，

所以当时，在R上恒成立，函数在R上单调递增； …………………6分

当时，，在上，单调递增，

在上，单调递减，在上，单调递增；

当时，，在上，单调递增，

在上，单调递减，在上，单调递增；………………8分

（3）当时，，由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；所以在处取得极小值，而，所以在上取得最小值，原命题等价于不等式在恒成立，  …………………10分

即：在恒成立，只需，

令，可得在上单调递减，在上单调递增，

而，所以，        …………………12分

所以.                                    …………………13分