Question

若函数g(x)=

cos π 2 x，  x≤0 log4(x+1)+k，x＞0

的值域为[-1，+∞），则k的取值范围是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：当x≤0时，g（x）=cos

π

2

，其周期T=4，当x＞0时，g（x）=log₄（x+1）+k，结合题意可得当x=0时，g（0）=k∈[-1，1]，从而可求得k的取值范围．

解答：解：∵g（x）=

cos π 2 x，  x≤0 log4(x+1)+k，x＞0

，
∴当x≤0时，g（x）=cos

π

2

x，其周期T=

2π

π 2

=4，
∴当x≤0时，-1≤g（x）≤1，
当x＞0时，g（x）=log₄（x+1）+k，g（x）可看做将f（x）=log₄x向左平移一个单位，再向上平移k个单位，
又∵g（x）的值域为[-1，+∞），
∴当x=0时，g（0）=k∈[-1，1]，
故k的取值范围是-1≤k≤1．
故答案为：[-1，1]．

点评：本题考查分段函数，着重考查余弦函数与对数函数的定义域和值域，突出考查数形结合思想，分析转化思想的运用，属于中档题．