【题目】已知椭圆 的两个焦点分别为 , ,且经过点 .
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ) 的顶点都在椭圆 上,其中 关于原点对称,试问 能否为正三角形?并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设椭圆 的标准方程为 ,
依题意得 ,
,
所以 , ,
故椭圆 的标准方程为 .
(Ⅱ)若 为正三角形,则 且 ,
显然直线 的斜率存在且不为0,
设 方程为 ,
则 的方程为 ,联立方程 ,
解得 , ,
所以 ,
同理可得 .
又 ,所以 ,
化简得 无实数解,
所以 不可能为正三角形
【解析】(Ⅰ)根据题目中所给的条件的特点,设出椭圆的标准方程并得到c,再由定义求得a,结合条件求得b,椭圆方程可求;
(Ⅱ)根据题意,直线AB的斜率存在且不为0,设AB方程为y=kx,写出直线OC的方程,分别联立直线方程与椭圆方程,求出A,C的坐标,得到|OC|与|OA|,代入条件得出k无实数解,说明△ABC不可能为正三角形.
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【题目】如图,是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在上的一点的正北方向的处建一仓库,并在公路同侧建造一个正方形无顶中转站(其中边在上),现从仓库向和中转站分别修两条道路,,已知,且,设,.
(1)求关于的函数解析式;
(2)如果中转站四周围墙(即正方形周长)造价为万元,两条道路造价为万元,问:取何值时,该公司建中转围墙和两条道路总造价最低?
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【题目】某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系: (其中c为小于6的正常数). (注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品),已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产出1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
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【题目】(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】某商场经营某种商品,在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种商品数之间的一组数据关系如表:
(I)画出散点图;
(II)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程;
(III)估计当每天销售的件数为12件时,每周内获得的纯利为多少?
附注:
,,,,,.
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