【题目】表面积为
的球面上有四点S、A、B、C，且
是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为1，若平面
平面ABC，则三棱锥
体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
由球的表面积求出半径OB，再计算
的面积为定值，由此得出S在AB的中垂线上且位于球心同侧时，棱锥
体积的最大，结合图形求出点S到平面ABC的距离，由此求得棱锥体积的最大值．
过球心O作平面ABC的垂线段OD，垂足为D，过D作
，垂足为E，
连接BD，则
，
，如图所示；
则球的表面积为
，解得半径
；
又
，
；
又是等边三角形，
是的中心，
，
；
；
由球的对称性可知当S在AB的中垂线上时，S到平面ABC的距离最大，
过O作平面SAB的垂线段SH，垂足为H，
平面
平面ABC，，平面
平面
，
平面ABC，
平面SAB；又
平面SAB，
，
四边形ODEH是矩形，
，
，
，
，
；
则三棱锥面积的最大值为：
．
故答案为：
．
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【题目】在平面直角坐标系
中，以
为极点，
轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
为参数
，直线与曲线分别交于
两点.
（1）若点
的极坐标为
，求
的值；
（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.
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【题目】如图，设椭圆
： 
，长轴的右端点与抛物线
： 
的焦点
重合，且椭圆
的离心率是
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）过
作直线
交抛物线
于
， 
两点，过
且与直线
垂直的直线交椭圆
于另一点
，求
面积的最小值，以及取到最小值时直线
的方程．
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【题目】将函数
的图像向左平移
个单位后得到函数
的图像，且函数
满足
，则下列命题中正确的是（）
A. 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为
B. 函数图像关于点
对称
C. 函数图像关于直线
对称
D. 函数在区间
内为单调递减函数
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【题目】我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务和责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准，为此，对全市家庭日常用水的情况进行抽样调查，并获得了
个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表所示.
（Ⅰ）分别求出
的值；
（Ⅱ）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭平均用水量；
（Ⅲ）从样本中年用水量在
（单位：立方米）的
个家庭中任选
个，作进一步跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（个家庭的年用水量都不相等）.
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【题目】某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
空气质量指数 |
|
|
|
|
|
|
空气质量等级 | 1级优 | 2级良 | 3级轻度污染 | 4级中度污染 | 5级重度污染 | 6级严重污染 |
该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.
（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？
（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；
（3）从这10天的数据中任取三天数据，记
表示抽取空气质量良的天数，求的分布列和期望.
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【题目】动圆M与圆F1：x2+y2+6x+5＝0外切，同时与圆F2：x2+y2﹣6x﹣91＝0内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程E，并说明它是什么曲线；
（2）若直线y
x+m与（1）中的轨迹E有两个不同的交点，求m的取值范围．
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【题目】如图，在三棱柱
中，
平面
，
为
边上一点，
，
.
（1）证明：平面
平面
.
（2）若
，试问：
是否与平面
平行？若平行，求三棱锥
的体积；若不平行，请说明理由.
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