Question

【题目】动圆M与圆F1：x2+y2+6x+5＝0外切，同时与圆F2：x2+y2﹣6x﹣91＝0内切．

（1）求动圆圆心M的轨迹方程E，并说明它是什么曲线；

（2）若直线yx+m与（1）中的轨迹E有两个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1，是椭圆；（2）（﹣6，6）.

【解析】

（1）求出两圆的半径和圆心，设动圆圆心为M（x，y），半径为r则|MF1|＝2+r，|MF2|＝10﹣r于是|MF1|+|MF2|＝12＞|AB|＝6，轨迹为椭圆，计算得到答案.

（2）联立方程，计算得到答案.

（1）圆x2+y2+6x+5＝0的圆心为F1（﹣3，0），半径为2；

圆x2+y2﹣6x﹣91＝0的圆心为F2（3，0），半径为10；

设动圆圆心为M（x，y），半径为r；则|MF1|＝2+r，|MF2|＝10﹣r；

于是|MF1|+|MF2|＝12＞|AB|＝6，

所以，动圆圆心M的轨迹是以F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．

∴a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；所以M的轨迹方程为：1．

（2）将直线：yx+m代入椭圆方程，消去y整理得，12x2+12mx+4m2﹣108＝0，①

由于直线l：y＝kx+1与轨迹E有两个不同的交点，则①有两个不相等的根，

∴△＝（12m）2﹣4×12×（4m2﹣108）＞0m2＜108﹣6m＜6．

故m的取值范围是：（﹣6，6）．