Question

【题目】已知函数在处取得极值．

Ⅰ求实数a的值；

Ⅱ若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

Ⅲ证明：参考数据：．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)求导，由f′(1)＝0构造方程求出a；(2)由(1)将方程f(x)＋2x＝x2＋b化简，令g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，求导，研究当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况，确定函数的最值，从而建立不等式组，即可求得结论；(3)设φ(x)＝lnx－(x2－1)，求导，根据函数的单调性得当x≥2时，>2，从而累加可得结论．

（1）f′(x)＝1－，∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，即1－＝0，∴a＝0.

经检验满足题意.

(2)由(1)得f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b即x－lnx＋2x＝x2＋b，∴x2－3x＋lnx＋b＝0，

设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，

则g′(x)＝2x－3＋＝

＝.

由g′(x)>0得0<x<或x>1，由g′(x)<0得<x<1，

∴当x∈，(1，＋∞)时，函数g(x)单调递增，x∈时，函数g(x)单调递减，

当x＝1时，g(x)极小值＝g(1)＝b－2，g＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2，

∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有两个不相等的实数根，

∴即解得＋ln2≤b<2.

(3)证明：∵k－f(k)＝lnk，∴>.

＋＋＋…＋> (n∈N，n≥2)

设φ(x)＝lnx－ (x2－1)，则φ′(x)＝－＝＝－

当x≥2时，φ′(x)<0，∴函数y＝φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，

∴φ(x)≤φ(2)＝ln2－<0，∴lnx< (x2－1)．

∴当x≥2时， >＝

＝2，

∴＋＋＋…＋>2

＝2＝.

∴原不等式成立．