Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；

（Ⅱ）设点的坐标为，直线交曲线于，两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），曲线是一个以为圆心，2为半径的圆；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用代入即可求得曲线的直角坐标方程，配方即可说明是何种曲线.

（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的普通方程方程，得到，利用的几何意义可得：，结合直线与圆相交即可求解。

解：（Ⅰ）将代入中得，

即，曲线是一个以为圆心，2为半径的圆.

（Ⅱ）由直线的参数方程，知其过定点，由于直线与曲线相交，由图象知其倾斜角为锐角.

联立与，整理得到关于的二次方程.

由知，或（舍）.

又由于点，均在点的下方，由参数的几何意义，知

（其中）.