Question

已知f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-1，1]．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）用定义证明g（x）在[-1，1]上为单调递减函数；
（3）若函数y=f（x）-4和g（x）值域相同，求y=f（x）-4的定义域．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x，可得3^a+2=18，可求得a的值，可以求得函数g（x）的解析式；
（2）可得g（x）的解析式，任取实数x₁，x₂满足-1≤x₁＜x₂≤1，利用定义法进行求解，判断g（x₁）-g（x₂）与0的关系，从而求解；
（3）利用换元法，令t=2^x，x∈[-1，1]，则2^x∈[，2]，求出g（x）的值域，可以求出y=f（x）-4的定义域．
解答：解：（1）∵f（a+2）=18，f（x）=3^x，
∴3^a+2=18⇒3^a=2，
∴g（x）=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，x∈[-1，1]…（4分）
（2）g（x）=2^x-4^x，x∈[-1，1]，任取实数x₁，x₂满足-1≤x₁＜x₂≤1

y=2^x为单调递增函数，-1≤x₁＜x₂≤1，则，
则
则g（x₁）-g（x₂）＞0，于是g（x）在[-1，1]上为单调递减函数…（8分）
（3）令t=2^x，x∈[-1，1]，则2^x∈[，2]，⇒t-t²=-（t-）²+，t∈[，2]，
于是g（x）值域为[-2，]，则y=f（x）-4值域为[-2，]即
-2≤3x-4≤，得log₃2≤x≤，
即y=f（x）-4的定义域为：[log₃2，]；
点评：此题主要考查函数的单调性的证明与应用，以及函数的解析式的求法，利用定义法求出函数的单调性是常考的题目，此题是一道中档题；