Question

已知圆C₁：x²+y²-4x+3=0，圆C₂：x²+y²-8y+15=0，动点P到圆C₁，C₂上点的距离的最小值相等．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）直线l：mx-（m²+1）y=4m，m∈R，是否存在m值使直线l被圆C₁所截得的弦长为

6

3

，若存在，求出m值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）因为动点P到圆C₁，C₂上的点距离最小值相等，所以|PC₁|=|PC₂|，列出方程，化简可得点P的轨迹方程；
（2）确定直线斜率的范围，利用直线l被圆C₁所截得的弦长为

6

3

，求出直线的斜率，比较可得结论．

解答： 解：（1）设动点P的坐标为（x，y），圆C₁的圆心C₁坐标为（2，0），半径为1；圆C₂的圆心C₂坐标为（0，4），半径为1；…2分
因为动点P到圆C₁，C₂上的点距离最小值相等，所以|PC₁|=|PC₂|…4分
即

(x-2)2+y2

=

x2+(y-4)2

，化简得x-2y+3=0．
因此点P的轨迹方程是x-2y+3=0．…6分
（2）直线l的方程可化为y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，直线l的斜率k=

m

m2+1

因为|m|≤

1

2

(m2+1)，所以|k|=

|m|

m2+1

≤

1

2

，当且仅当|m|=1时等号成立．
所以，k2≤

1

4

…8分
所以l的方程为y=k（x-4），其中|k|≤

1

2

．
圆心C₁到直线l的距离d=

|2k|

k2+1

…10分
故设直线被圆C₁所截得的弦长为a，由(

a

2

)2=r2-d2知
当a=

6

3

时有(

|2k|

k2+1

)2=1-(

6

6

)2…12分
解得k2=

5

19

＞

1

4

…13分
所以不存在m值使直线被圆C₁所截得的弦长为

6

3

，…14分

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．