Question

20．正四棱锥（底面为正方形的四棱锥）S-ABCD侧棱长与底面边长相等，E为SC中点，BE与SA所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 过点P作PO⊥平面ABCD，交ABCD于点O，以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与SA所成角的余弦值．

解答 解：过点P作PO⊥平面ABCD，交ABCD于点O，
以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
设正四棱锥S-ABCD侧棱长与底面边长都为2，
则A（1，-1，0），OB=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，OS=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，B（1，1，0），
S（0，0，$\sqrt{2}$），C（-1，1，0），E（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{SA}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），
设BE与SA所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{SA}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{SA}|}$=$\frac{|-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{3}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴BE与SA所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．