Question

20．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=BC，侧面A₁B₁BA和B₁C₁CB都是边长为2的正方形，D为AC的中点．
（1）求证；AB₁∥平面BDC₁；
（2）求证：A₁C⊥平面BDC₁；
（3）求二面角B₁-BC₁-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接B₁C交BC₁于O，连接OD，然后由三角形的中位线的性质得到OD∥AB₁，再由线面平行的判断得答案；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由侧面A₁B₁BA和B₁C₁CB都是正方形，得到AA₁⊥BD，再由AB=BC，D为AC的中点，可得BD⊥AC，进一步得到BD⊥A₁C，由线面垂直的判断和性质得到A₁C⊥BC₁，又BD∩BC₁=B，可得A₁C⊥BDC₁；
（3）以B₁为坐标原点，以B₁C₁、B₁B、B₁A₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BC₁D的一个法向量，找出平面BC₁B₁的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角B₁-BC₁-D的正弦值．

解答 （1）证明：连接B₁C交BC₁于O，连接OD，
在△CAB₁中，由O、D分别是B₁C和AC的中点，得OD∥AB₁，
而AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁；
（2）证明：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁B₁BA和B₁C₁CB都是正方形，
∴BB₁⊥平面ABC，AA₁⊥平面ABC，而BD?平面ABC，
∴AA₁⊥BD．
∵AB=BC=2，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，BD⊥平面AA₁C₁C．
∴BD⊥A₁C，
又A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁，
∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CB，则A₁B₁⊥BC₁．
在正方形B₁C₁CB中，B₁C⊥BC₁，A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，而A₁C?平面A₁B₁C，
∴A₁C⊥BC₁，又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥BDC₁；
（3）解：以B₁为坐标原点，以B₁C₁、B₁B、B₁A₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，2，0），A（0，2，2），C₁（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，1），
$\overrightarrow{{C}_{1}B}=（-2，2，0），\overrightarrow{BD}=（1，0，1）$，
设平面BC₁D的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，
由$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{C}_{1}B}，\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{BD}$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，-1）$，
又平面BC₁B₁的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}=（0，0，1）$，
∴|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B₁-BC₁-D的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行、垂直的判断与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．