【题目】设椭圆C: (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 上顶点为A,过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点,且F1恰好是线段QF2的中点.
(1)若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,B是椭圆C的左顶点,过点R( ,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点,直线BE、BF分别交直线x=
于M、N两点,若直线MR、NR的斜率分别为k1 , k2 , 试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】
(1)
解:由题意可知A(0,b),F1是线段QF1的中点,
设F1(﹣c,0),F2(c,0),则Q(﹣3c,0),
∵∠QAF1=90°,
∴b2=3c2,
由题意Rt△QAF1外接圆圆心为斜边的QF1中点F1(﹣c,0),半径等于2c,
由A,Q,F2,三点恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切,
∴F1(﹣c,0)到直线的距离等于半径2c,
即 =2c,
解得:c=1,b2=3,a2=4,
∴椭圆的标准方程:
(2)
解:设E(x1,y1),F(x2,y2),
直线PQ的方程为x=my+ ,代入椭圆方程
,
4(4+3m2)y2+36my﹣21=0,
y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
,
由B,E,M,三点共线,可知: =
,即yM=
,
同理可得:yN= ,
∴k1k2= ×
=
=
,
由4(x1+2)(x2+2)=(2my1+7)(2my2+7)=4m2y1y2+14m(y1+y2)+49,
∴k1k2= =﹣
,
∴k1k2是否为定值﹣
【解析】(1)由题意可知b2=3c2 , 根据点到直线的距离公式,即可求得c的值,求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)设直线PQ方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,求得M和N点的纵坐标,利用斜率公式求得k1 , k2 , 利用韦达定理即可求得k1k2 .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求|PA|+|PB|的最小值.
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【题目】阅读下面材料:在计算时,我们发现,从第一个数开始,后面每个数与它的前面个数的差都是一个相等的常数,具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可以用下面的公式来计算它们的和
,
(其中:
表示数的个数,
表示第一个数,
表示最后一个数)),那么
,利用或不利用上面的知识解答下面的问题:某集团总公司决定将下属的一个分公司对外招商承包,有符合条件的两家企业A、B分别拟定上缴利润,方案如下:A:每年结算一次上缴利润,第一年上缴利润100万元,以后每年比前一年增加100万元;B:每半年结算一次上缴利润,第一个半年上缴利润30万元,以后每半年比前半年增加30万元;
(1)如果承包4年,你认为应该承包给哪家企业,总公司获利多?
(2)如果承包年,请用含
的代数式分别表示两家企业上缴利润的总金额,请问总公司应该如何在承包企业A、B中选择?
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【题目】点P在双曲线 (a>0,b>0)的右支上,其左、右焦点分别为F1、F2 , 直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A,线段PF1的垂直平分线恰好过点F2 , 则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±
B.±
C.±
D.±
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【题目】已知函数f(x)=ex+be﹣x﹣2asinx(a,b∈R).
(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当b=﹣1时,若f(x)>0对任意x∈(0,π)恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知D= ,给出下列四个命题:
P1:(x,y)∈D,x+y+1≥0;
P2:(x,y)∈D,2x﹣y+2≤0;
P3:(x,y)∈D, ≤﹣4;
P4:(x,y)∈D,x2+y2≤2.
其中真命题的是( )
A.P1 , P2
B.P2 , P3
C.P2 , P4
D.P3 , P4
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【题目】如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记
BOP=x,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则图像大致为()
A.
B.
C.
D.
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【题目】某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)
A.
B.
C.
D.
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