Question

已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f (x)＝x³－x²＋ax．

(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；

(Ⅱ) 若函数g(x)＝x³＋bx²－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同．

求证：g(x)的极大值小于等于．

Answer 1

本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。

    (Ⅰ) 解: 当a＝2时，f ′(x)＝x²－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

        列表如下：

x	(－，1)	1	(1，2)	2	(2，＋)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，f (x)极小值为f (2)＝．           …………………………………5分

(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

g ′(x)＝3x²＋2bx－(2b＋4)＋＝．

令p(x)＝3x²＋(2b＋3)x－1，

  (1) 当 1＜a≤2时，

f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a，

所以p(a)＝0，

即3a²＋(2b＋3)a－1＝0，

即b＝，

此时g(x)_极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b

＝－3＋ ＝．

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝．………………………………10分

(2) 当0＜a＜1时，

f (x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1，

由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x₂＜0＜x₁，

所以0＜x₁＜1，

即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，

故b＞－．

此时g(x)的极大值点x＝x₁，

有 g(x₁)＝x₁³＋bx₁²－(2b＋4)x₁＋lnx₁

＜1＋bx₁²－(2b＋4)x₁

＝(x₁²－2x₁)b－4x₁＋1　  (x₁²－2x₁＜0)

＜－(x₁²－2x₁)－4x₁＋1

＝－x₁²＋x₁＋1

＝－(x₁－)²＋1＋   (0＜x₁＜1)

≤

＜．

综上所述，g(x)的极大值小于等于．     ……………………14分