Question

甲、乙两人进行了八十一回合的某类型球赛，两人先抽签决定第一回合的发球权，之后的回合则由两人轮流发球，比赛结果甲以2：1的比率获胜，且在八十一回合中，共有四十一回合不是发球者获胜．请问第一回合的发球者在所有他发球的回合中共赢了几回合？

Answer 1

考点：概率的意义

专题：概率与统计

分析：由于甲、乙两人进行了八十一回合的某类型球赛，比赛结果甲以2：1的比率获胜，可得甲共获胜

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×81=54场，乙共获胜27场．
①假设甲是第一回合的发球者，乙是第二回合的发球者．则甲在41场中发球共获胜x场，乙在40场中发球共获胜y场，由于在八十一回合中，共有四十一回合不是发球者获胜．可得x+y=40，41-x+y=27，解得x．
②假设乙是第一回合的发球者，甲是第二回合的发球者．同理即可推断出．

解答： 解：由于甲、乙两人进行了八十一回合的某类型球赛，比赛结果甲以2：1的比率获胜，
因此甲共获胜

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3

×81=54场，乙共获胜27场．
①假设甲是第一回合的发球者，乙是第二回合的发球者．
则甲在第1，3，…，81场中发球共获胜x场，乙在第2，4，…，80场中发球共获胜y场，
由于在八十一回合中，共有四十一回合不是发球者获胜．
因此x+y=40，41-x+y=27，解得x=27．
当甲是第一回合的发球者时，在所有他发球的回合中共赢了27回合．
②假设乙是第一回合的发球者，甲是第二回合的发球者．
则乙在第1，3，…，81场中发球共获胜x场，甲在第2，4，…，80场中发球共获胜y场，
由于在八十一回合中，共有四十一回合不是发球者获胜．
因此x+y=40，41-x+y=54，解得y=

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，不符合题意一个舍去．
综上①②可得：只能是：甲是第一回合的发球者，在所有他发球的回合中共赢了27回合．

点评：本题考查了概率的意义、分类讨论的思想方法，考查了方程的思想解决问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．