Question

过椭圆2x²+y²-10=0在第一象限内的点P作圆x²+y²=4的两条切线，当这两条切线垂直时，点P的坐标是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

专题：直线与圆

分析：如图所示，设点P（m，n）分别与圆x²+y²=4相切于点M，N．连接OM，ON，OP．利用圆的切线的性质和已知可得四边形OMPN是正方形．得到|OP|=

2

r=2

2

．
于是

m2+n2=(2 2 )2 2m2+n2-10=0

，m＞0，n＞0，解得即可．

解答： 解：如图所示，
设点P（m，n）分别与圆x²+y²=4相切于点M，N．连接OM，ON，OP．
∵PM⊥PN，OM⊥MP，ON⊥NP，OM=ON．
∴四边形OMPN是正方形．
∴|OP|=

2

r=2

2

．
联立

m2+n2=(2 2 )2 2m2+n2-10=0

，m＞0，n＞0，解得

m= 2 n= 6

．
∴P(

2

，

6

)．
故答案为：(

2

，

6

)．

点评：本题考查了圆的切线的性质、点与椭圆的关系、正方形的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．