Question

将一个水平放置的正方形ABCD绕直线AB向上转动45°到ABC₁D₁，再将所得正方形ABC₁D₁绕直线BC₁向上转动45°到A₂BC₁D₂，则平面A₂BC₁D₂与平面ABCD所成二面角的正弦值等于

 

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：利用三面角的第二余弦定理，建立等式，即可求解．

解答： 解：先来证明三面角的第二余弦定理：在三面角O-ABC中，设二面角B-OA-C为α，则有：cosα×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC=cos∠BOC
在OA上取一点D，过D作OD的垂线DE、DF分别交OB、OC于E与F．接着使用向量证明．考虑有向线段OD、OE、OF、DE、DF．易知：cosα=

DE • DF

| DE || DF |

，sin∠AOB=

DE

OE

，sin∠AOC=

DF

OF

，
cos∠AOB=

OD • OE

| OD || OE |

，cos∠AOC=

OD • OF

| OD || OF |

，cos∠BOC=

OE • OF

| OE || OF |

则实际是要证明：

DE • DF

| DE || DF |

×

DE

OE

×

DF

OF

+

OD • OE

| OD || OE |

×

OD • OF

| OD || OF |

=

OE • OF

| OE || OF |

利用

OD

•

OE

=

OD

•

OF

=

OD

2可得出原式等价于

OD

2+

DE

•

DF

=

OE

•

OF

∵

OE

•

OF

=(

OD

+

DE

)•(

OD

+

DF

)=

OD

2+

OD

•

DE

+

OD

•

DF

+

DE

•

DF

，

OD

•

DE

=

OD

•

DF

=0，∴可证明原式．
令∠ABC为α，α=90°，平面A₂BCD₂与平面ABCD所成角为A，二面角C₁-AB-D为D，二面角D₁-BC₁-E为B；
根据三面角的第二余弦定理有：cosA=-cosDcosB+sinDsinBcosα，所以cosA=-cos45°cos（180°-45°）+sin45°sin（180°-45°）cos90°，所以cosA=0.5，所以sinA=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查面面角，考查第二余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．