Question

已知函数f（x）=x²﹣ax+a（a∈R）的图象与x轴相切，且在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．

（I）求函数f（x）的表达式；

（II）设函数g（x）=xf（x），求g（x）的极值；

（III）设函数h（x）=g（x）+x﹣k，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：

函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（I）由题意，令△=a²﹣4a=0，解得a=0或4．再分别验证是否符合条件即可；

（II）g（x）=xf（x）=x³﹣4x²+4x，g′（x）=3x²﹣8x+4，

令g′（x）=0，解得或2．

列表如下：即可得出极值．

（III）h（x）=g（x）+x﹣k=x³﹣4x²+5x﹣k，

∴h′（x）=3x²﹣8x+5，令h′（x）=0，解得或1．

可知h（x）_极大值=h（1），．

由题意h（x）存在3个零点，则，解出即可．

解答：

解：（I）由题意，令△=a²﹣4a=0，解得a=0或4．

当a=0时，f（x）=x²，在（0，+∞）单调递增，不符合题意；

当a=4时，f（x）=（x﹣2）²，在区间（0，2）上单调递减，符合题意．

∴f（x）=x²﹣4x+4．

（II）g（x）=xf（x）=x³﹣4x²+4x，g′（x）=3x²﹣8x+4，

令g′（x）=0，解得或2．

列表如下：∴=，g（x）_极小值=g（2）=0．

（III）h（x）=g（x）+x﹣k=x³﹣4x²+5x﹣k，

∴h′（x）=3x²﹣8x+5，令h′（x）=0，解得或1．

可知h（x）_极大值=h（1），．

由题意h（x）存在3个零点，则，解得．

所以实数k的取值范围是．

点评：

熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点等是解题的关键．