Question

求函数y=x+的单调区间.

Answer 1

剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法:

    (1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性(一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x₂)-f(x₁)的正负.

解:首先确定定义域:{x|x≠0},

    ∴在(-∞,0)和(0，+∞)两个区间上分别讨论.任取x₁、x₂∈(0,+∞)且x₁＜x₂,则f(x₂)-f(x₁)=x₂+-x₁-=(x₂-x₁)+=(x₂-x₁)(1-)，要确定此式的正负只要确定1-的正负即可.

    这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x₁、x₂的任意性，考虑到要将(0，+∞)分为(0，1)与(1，+∞)(这是本题的关键).

    (1)当x₁、x₂∈(0,1)时，1-＜0,

    ∴f(x₂)-f(x₁)＜0为减函数.

    (2)当x₁、x₂∈(1,+∞)时，1-＞0,

    ∴f(x₂)-f(x₁)＞0为增函数.

    同理可求(3)当x₁、x₂∈(-1,0)时，为减函数;(4)当x₁、x₂∈(-∞,-1)时，为增函数.

讲评:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是减函数，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数，或说f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.