Question

15．抛物线y²=x上有一动点P，已知定点A（3，-1），抛物线的焦点为F，求|PA|+|PF|的最小值及取得最小值时的P点的坐标．

Answer 1

分析 利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．

解答 解：根据题意，设点P在其准线x=-$\frac{1}{4}$上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|=$\frac{13}{4}$（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），
∴|PA|+|PF|取得最小值$\frac{13}{4}$时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y₀=-1，设其横坐标为x₀，
∵P（x₀，-1）为抛物线y²=x上的点，
∴x₀=1，
∴点P的坐标为P（1，-1）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．