Question

5．设A，B，C，D是空间四个不共面的点，以$\frac{1}{2}$的概率在每对点之间一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A，B可用（一条边或若干条边组成的）空间折线连接的概率为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 每对点之间是否连边有2种可能，共有2⁶=64种情况，再分有AB边，无AB边但有CD边和无AB边也无CD边三种情况下A，B可用折线连接数总和，由此能求出A，B可用折线连接的概率．

解答 解：每对点之间是否连边有2种可能，共有2⁶=64种情况，
考虑其中A，B可用折线连接的情况数．
（1）有AB边：共2⁵=32种情况；
（2）无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线相连，当且仅当A与C、D中至少一点相连，且B与C、D中至少一点相连，
这样的情况数为（2²-1）（2²-1）=9；
（3）无AB边，也无CD边：此时AC、BD相连有2²=4种，
AD，DB相连也有2²种情况，
但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况被重复计了一次，
故A、B可用折线连结的情况数为2²+2²-1=7，
以上三种情况数总和为：32+9+7=48，
故A，B可用折线连接的概率为：p=$\frac{48}{64}=\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．