Question

17．已知f（x）=sinx+cosx+sin2x，若?t∈R，x∈R，asint+2a+1≥f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\sqrt{2}$]
• B． [$\sqrt{2}$-1，+∞）
• C． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令m=sinx+cosx=$\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．则sin2x=m²-1．可得f（x）=sinx+cosx+sin2x=m²+m-1=g（m），利用二次函数的单调性可得：g（m）_max=1+$\sqrt{2}$．?t∈R，x∈R，asint+2a+1≥f（x）恒成立，化为a≥$\frac{\sqrt{2}}{2+sint}$，求出$\frac{\sqrt{2}}{2+sint}$的最大值即可．

解答 解：令m=sinx+cosx=$\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．则m²=1+2sinxcosx，∴sin2x=m²-1．
∴f（x）=sinx+cosx+sin2x=m²+m-1=g（m），
∴g（m）=$（m-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{5}{4}$，函数g（m）在$[-\sqrt{2}，\frac{1}{2}]$内单调递减，在$[\frac{1}{2}，\sqrt{2}]$内单调递增．
g（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$．
∴g（m）_max=1+$\sqrt{2}$．
∵?t∈R，x∈R，asint+2a+1≥f（x）恒成立，
∴asint+2a+1≥1+$\sqrt{2}$，
化为a≥$\frac{\sqrt{2}}{2+sint}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2+sint}$的最大值为$\sqrt{2}$，
∴$a≥\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数求值、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式、倍角公式、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．