Question

12．在（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7：2，则含x的项的系数是84．

Answer 1

分析 由条件利用二项展开式的通项公式先求出n=9，再令通项公共式中x的幂指数等于1，求得r的值，可得含x的项的系数．

解答 解：在（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ的展开式中，它的通项公式为 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${x}^{\frac{3n-7r}{6}}$，
∵第5项与第3项的系数之比为7：2，
∴$\frac{{C}_{n}^{4}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，∴n=9，故它的通项公式为 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${x}^{\frac{27-7r}{6}}$，令27-7r=6，求得r=3，
则含x的项的系数是${C}_{9}^{3}$=84，
故答案为：84．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．