Question

4．己知实数x，y满足$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，则P=|2x+y-4|+|4-x-2y|的取值范围是[2，14]．

Answer 1

分析 设x=$\sqrt{3}$cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．可得：P=|2x+y-4|+|4-x-2y|=$|2\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|$+$|\sqrt{3}cosθ+2sinθ-4|$=8-6$sin（θ+\frac{π}{3}）$，即可得出．

解答 解：设x=$\sqrt{3}$cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．
P=|2x+y-4|+|4-x-2y|
=$|2\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|$+$|\sqrt{3}cosθ+2sinθ-4|$
=4-$2\sqrt{3}$cosθ-sinθ+4-$\sqrt{3}$cosθ-2sinθ
=8-$3\sqrt{3}$cosθ-3sinθ
=8-6$（\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$
=8-6$sin（θ+\frac{π}{3}）$∈[2，14]．
故答案为：[2，14]．

点评 本题考查了椭圆的参数方程、三角函数求值、和差化积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．