Question

10．已知圆O：x²+y²=4．点M（4，0），过原点的直线（不与x轴重合）与圆O交于A，B两点，则△ABM的外接圆的面积的最小值为$\frac{25π}{4}$．

Answer 1

分析 本题求解三角形外接圆的面积最小值，即求外接圆的半径最小值．又因为AB的长度为定值，所以仅需求∠AMB正弦的最大值即可，即求∠AMB余弦的最小值，因此可以使用余弦定理直接求解即可．

解答 解：本题求解三角形外接圆的面积最小值，即求外接圆的半径最小值．又因为AB的长度为定值，所以仅需求∠AMB正弦的最大值即可，即求∠AMB余弦的最小值，因此可以使用余弦定理直接求解即可．
设MA=x，MB=y，利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，可得x²+y²=40，
∴x²+y²=40≥2xy，∴xy≤20
∴cos∠AMB=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-16}{2xy}$=$\frac{12}{xy}$≥$\frac{3}{5}$
∴sin∠AMB≤$\frac{4}{5}$，
再由正弦定理，得：2R=$\frac{AB}{sin∠AMB}$≥5，
∴R≥$\frac{5}{2}$，
∴△ABM的外接圆的面积的最小值为$\frac{25π}{4}$．
故答案为：$\frac{25π}{4}$．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系，考查正弦、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．