我们称满足下面条件的函数y=f(x)为“ξ函数 :存在一条与函数y=f(x)的图象有两个不同交点(设为P(x1.y1)Q(x2.y2))的直线.y=(x)在x=$\frac{{x} {1}+{x} {2}}{2}$处的切线与此直线平行．下列函数:①y=$\frac{1}{x}$ ②y=x2③y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$ ④y=lnx.其中为“ξ函数的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．我们称满足下面条件的函数y=f（x）为“ξ函数”：存在一条与函数y=f（x）的图象有两个不同交点（设为P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂））的直线，y=（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线与此直线平行．下列函数：
①y=$\frac{1}{x}$ ②y=x²（x＞0）③y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$ ④y=lnx，
其中为“ξ函数”的是②③ （将所有你认为正确的序号填在横线上）

分析利用导数的几何意义，分别判断四个函数求在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线斜率与导数值是否相等即可．

解答解：（1）设一条直线l与函数y=$\frac{1}{x}$的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）的直线，可得k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$．由于y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，可得y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处切线的斜率k=f′（ $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{4}{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$，可得-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$≠-$\frac{4}{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$，因此函数y=$\frac{1}{x}$不是ξ函数”；
（2）设一条直线l与函数y=x²（x＞0）的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直线，则k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=2x=x₂+x₁，
∵y′=2x，
∴y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线的斜率k=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x₁+x₂，
∴存在一条直线l与函数y=f（x）的图象有两个不同交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直线，使y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线与此直线平行，
因此函数y=x²为ξ函数；
同理可判定：（3）为“ξ函数；（4）不为ξ函数．
故答案为：②③．

点评本题考查了新定义ξ函数、直线的斜率计算公式、利用导数研究函数切线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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