Question

6．设函数$f（x）={e^{|x|}}-\frac{2}{{{x^2}+3}}$，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{3}，1）$
• B． $（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$
• C． $（-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}）$
• D． $（-∞，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 根据f（x）解析式可以判断f（x）在[0，+∞）上为增函数，在R上为偶函数，从而由f（x）＞f（2x-1）便可得到|x|＞|2x-1|，两边平方即可解出该不等式，从而得出x的取值范围．

解答 解：x≥0时，f（x）=e^x-$\frac{2}{{x}^{2}+3}$，
∴x增大时e^x增大，x²增大，即f（x）增大；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x）；
∴f（x）为偶函数；
∴由f（x）＞f（2x-1）得：f（|x|）＞f（|2x-1|）
∴|x|＞|2x-1|；
∴x²＞（2x-1）²；
解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1；
∴x的取值范围为（$\frac{1}{3}$，1）．
故选：A．

点评 考查指数函数、二次函数的单调性，增函数的定义，偶函数的定义，以及通过两边平方解绝对值不等式的方法．