Question

14．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B₃C₃上有10个不同的点P₁，P₂，…P₁₀，记m_i=$\overrightarrow{A{B}_{2}}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$（i=1，2，3，…，10），则m₁+m₂+…+m₁₀的值为180．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AC₁所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B₂（3，$\sqrt{3}$），B₃（5，$\sqrt{3}$），C₃（6，0），求出直线B₃C₃的方程，可设P_i（x_i，y_i），可得$\sqrt{3}$x_i+y_i=6$\sqrt{3}$，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．

解答 解：以A为坐标原点，AC₁所在直线为x轴建立
直角坐标系，
可得B₂（3，$\sqrt{3}$），B₃（5，$\sqrt{3}$），C₃（6，0），
直线B₃C₃的方程为y=-$\sqrt{3}$（x-6），
可设P_i（x_i，y_i），可得$\sqrt{3}$x_i+y_i=6$\sqrt{3}$，
即有m_i=$\overrightarrow{A{B}_{2}}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$=3x_i+$\sqrt{3}$y_i
=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$x_i+y_i）=18，
则m₁+m₂+…+m₁₀=18×10=180．
故答案为：180．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．