Question

8．若x＞0，y＞0，则$\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{x}$的最小值为$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设$\frac{y}{x}$=t＞0，变形$\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{x}$=$\frac{1}{1+2t}$+t=$\frac{1}{1+2t}$+$\frac{1}{2}（2t+1）$-$\frac{1}{2}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设$\frac{y}{x}$=t＞0，则$\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{x}$=$\frac{1}{1+2t}$+t=$\frac{1}{1+2t}$+$\frac{1}{2}（2t+1）$-$\frac{1}{2}$≥$2\sqrt{\frac{1}{1+2t}×\frac{1+2t}{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，当且仅当$t=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$=$\frac{y}{x}$时取等号．
故答案为：$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．