Question

19．对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称函数g（x）为函数f（x）在区间D上的一个“覆盖函数”，设f（x）=2^x，g（x）=2x，若函数g（x）为函数f（x）在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则2^|m-n|的最大值为2．

Answer 1

分析 由2^|m-n|的最大值，知需找|m-n|的最大值，由2^x≤2x恒成立，知1≤x≤2，所以得|m-n|最大为1，所以2^|m-n|的最大值为2．

解答 解：求解2^|m-n|的最大值，即为寻找|m-n|的最大值，
∵f（x）=2^x，g（x）=2x，
要想对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，
即2^x≤2x恒成立，
则1≤x≤2，
∴区间[m，n]的最大跨度为2-1=1，
∴2^|m-n|的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查指数函数单调性和数形结合问题．