Question

8．数列{a_n}满足a₁=3，${a_n}_{+1}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，\;（0≤{a_n}≤1）\\{a_n}-1，\;\;（{a_n}＞1）.\end{array}\right.$那么a₂₀₁₆=2，数列{a_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3（n+1）}{2}，}&{n为奇数}\\{\frac{3n+4}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通过计算数列的前几项，可知数列{a_n}从第二项起，构成以2为周期的周期数列，进而可知a₂₀₁₆=a₂=2，且数列{S_2n-1}是首项、公差均为3的等差数列，数列{S_2n}是首项为5、公差为3的等差数列，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：依题意，a₁=3，
a₂=a₁-1=2，
a₃=a₂-1=1，
a₄=2a₃=2，
…
∴数列{a_n}从第二项起，构成以2为周期的周期数列，
∵2016=1+2×1007+1，
∴a₂₀₁₆=a₂=2，
又∵数列{S_2n-1}是首项、公差均为3的等差数列，
数列{S_2n}是首项为5、公差为3的等差数列，
∴当n为奇数时，S_n=3+3（$\frac{n+1}{2}$-1）=$\frac{3（n+1）}{2}$；
当n为偶数时，S_n=5+3（$\frac{n}{2}$-1）=$\frac{3n+4}{2}$；
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3（n+1）}{2}，}&{n为奇数}\\{\frac{3n+4}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
故答案为：2，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3（n+1）}{2}，}&{n为奇数}\\{\frac{3n+4}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，确定周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．