Question

17．△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若$sin∠BAM=\frac{1}{5}$，则sin∠BAC=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

Answer 1

分析 在△ABM中，由正弦定理可知，sin∠AMB=$\frac{3c}{5a}$，进而可得cosβ=$\frac{3c}{5a}$，在RT△ACM中，还可得cosβ=$\frac{b}{\sqrt{（\frac{2}{3}a）^{2}+{b}^{2}}}$，建立等式后可得a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$b，在RT△ABC中，sin∠BAC=$\frac{a}{c}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

解答 解：设AC=b，AB=c，BM=$\frac{a}{3}$，MC=$\frac{2a}{3}$，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得：$\frac{\frac{a}{3}}{sin∠BAM}=\frac{c}{sin∠AMB}$，
代入解得：sin∠AMB=$\frac{3c}{5a}$，
cosβ=cos（$\frac{π}{2}$-∠AMC）=sin∠AMC=sin∠AMB=sin∠AMB=$\frac{3c}{5a}$，
在RT△ACM中，cosβ=$\frac{AC}{AM}$=$\frac{b}{\sqrt{（\frac{2}{3}a）^{2}+{b}^{2}}}$，$\frac{b}{\sqrt{（\frac{2}{3}a）^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{3c}{5a}$，
由勾股定理可得a²+b²=c²，化简整理得：（2a²-3b²）²=0，
a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$b，
在RT△ABC中，sin∠BAC=$\frac{a}{c}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}b}{2}}{\frac{\sqrt{10}b}{2}}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．