Question

6．已知（x+$\frac{m}{x}$）ⁿ展开式的二项式系数之和为256
（1）求n；
（2）若展开式中常数项为$\frac{35}{8}$，求m的值；
（3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的值．

Answer 1

分析 （1）（x+$\frac{m}{x}$）ⁿ展开式的二项式系数之和为256，可得2ⁿ=256，解得n即可得出．
（2）$（x+\frac{m}{x}）^{8}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{m}{x}）^{r}$=m^r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，令8-2r=0，解得r即可得出；
（3）$（x+\frac{m}{x}）^{8}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{m}{x}）^{r}$=m^r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，由于展开式中系数最大项只有第6项和第7项，可得m≠0，T₆=m⁵${∁}_{8}^{5}$x^-2，T₇=m⁶${∁}_{8}^{6}$x^-4，令系数相等解出即可得出．

解答 解：（1）∵（x+$\frac{m}{x}$）ⁿ展开式的二项式系数之和为256，∴2ⁿ=256，解得n=8．
（2）$（x+\frac{m}{x}）^{8}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{m}{x}）^{r}$=m^r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，令8-2r=0，解得r=4．
∴m⁴${∁}_{8}^{4}$=$\frac{35}{8}$，解得m=$±\frac{1}{2}$．
（3）$（x+\frac{m}{x}）^{8}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{m}{x}）^{r}$=m^r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，
∵展开式中系数最大项只有第6项和第7项，∴m≠0，
T₆=m⁵${∁}_{8}^{5}$x^-2，T₇=m⁶${∁}_{8}^{6}$x^-4，令m⁵${∁}_{8}^{5}$=m⁶${∁}_{8}^{6}$，
解得m=2．

点评 本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．