Question

14．若函数f（x）=$\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}$x+m在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值为3，求常数m的值及此函数当x∈[a，a+π]（其中a可取任意实数）时的最大值．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得常数m的值及此函数当x∈[a，a+π]（其中a可取任意实数）时的最大值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}$x+m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
在区间$[0，\frac{π}{2}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，故函数的最小值为-1+m+1=3，求得m=3，
此函数当x∈[a，a+π]（其中a可取任意实数）时，由于函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4的周期为π，
故此函数的最大值为6．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．