Question

19．已知△ABC的两内角A、B适合方程8sin²x+3sin2x-4=0，并且A＜B，求这三角形三边之比．

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简条件式得到cos2x，利用2倍角公式计算sinx，即sinA．sinB的值，则sinC=sin（A+B），利用正弦定理得出三边之比等于sinA：sinB：sinC．

解答 解：∵8sin²x+3sin2x-4=0，∴4-4cos2x+3sin2x-4=0，即3sin2x-4cos2x=0．
∴tan2x=$\frac{4}{3}$．
∴cos2x=±$\frac{3}{5}$．
∵cos2x=1-2sin²x=$±\frac{3}{5}$，
∴sinx=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$或sinx=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴0＜A＜B＜π，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sinC=sin（A+B）=1或$\frac{3}{5}$．
∴a；b：c=sinA；sinB：sinC=1；2：$\sqrt{5}$或5：10：3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理得应用，属于中档题．